Modelagem de Otimização

Modelo Matemático - Elementos

Decisões -> Identificar as possíveis soluções

(Definir Variáveis de Decisão)

Objetivos -> Definir critérios de avaliação capazes de indicar que uma decisão é preferível a outras

(Definir Função Objetivo)

Restrições -> Identificar quais as restrições que limitam as decisões a serem tomadas

(Definir Conjunto de Equações ou Inequações)

Exemplo:

Uma empresa automobilística produz dois tipos de carros (modelo A e modelo B). Cada um destes carros pode ser fabricado em duas oficinais. A oficina 1 tem um máximo de 120 horas de trabalho disponível e a oficina 2 um máximo de 180 h. A fabricação do carro do modelo A requer 6 horas de trabalho na oficina 1 e 3 h na oficina 2. A fabricação do modelo B requer 4h na oficina 1 e 1 hora na oficina 2. O lucro é de 30 mil no carro A e de 40 mil no carro B. Formule um modelo de programação linear que maximize o lucro na produção dos carros.

1º PASSO: Monte uma tabela com as informações principais

Principais dados: Modelos de carro (A e B); Oficinas (1 e 2); Horas para montar um Modelo de carro (A e B); Máximo de horas disponíveis para o trabalho de montagem dos carros das Oficinas (1 e 2); Lucro do carro (A e B);

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII	OFICINA 1	OFICINA 2	LUCRO DE 1 CARRO
MODELO A	6 horas/carro	3 horas/carro	30 000
MODELO B	4 horas/carro	1 hora/carro	40 000
MÁXIMO DE HORAS	120	180	IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

2º PASSO: Identificar as Variáveis de Decisão

PERCEBA: Modelos de carro, Horas, Máximo de horas disponíveis, Oficina e Lucro são os dados que relacionam a questão principal: Produção de carros

Na questão, TODOS os dados estão intimamente relacionados com as HORAS e a PRODUÇÃO DE CARROS. Então as VARIÁVEIS DE DECISÃO serão a representação da QUANTIDADE DE CARROS, já que DEPENDE disso.

Por ser 2 Modelos de carro, temos 2 Variáveis de Decisão:

Xa = Modelo A e Xb = Modelo B

3º PASSO: Definir a Função Objetivo

Para definir a Função Objetivo, deve-se olhar para o comando da questão:

“Formule um modelo de programação linear que maximize o lucro na produção dos carros.”

Informações Relevantes: Maximizar e Lucro da produção de carros

Nesse caso, a função tem o objetivo de maximizar ao máximo o Lucro.

Sabemos que o LUCRO já está explícito, tanto para o Modelo de carro A quanto para o B.

Pense dessa forma:

Se eu tenho 1 carro do Modelo A, então o Lucro é 30 000

Se eu tenho 2 carros do Modelo A, então o Lucro duplica, agora é de 60 000

Assim, para uma quantidade Xa (carros do Modelo A), temos um Lucro de 30 000 * Xa

Análogo a isso, faz-se o mesmo com o Modelo B.

Logo, a Função Objetivo é:

max f(x) = 30 000Xa + 40 000Xb

4º PASSO: Definir as restrições do problema

Observando a questão, vê-se que existe um LIMITE de Horas disponíveis para a confecção dos carros e o tempo que leva para construir um carro de cada modelo, dependendo da Oficina.

Podemos multiplicar as variáveis Xa e Xb com os respectivos tempos de construção de cada uma e igualar com a quantidade de horas disponíveis, tendo:

6Xa + 4Xb ≤ 120

3Xa + Xb ≤ 180

Pronto! A modelagem está construída!

Formalizando matematicamente, temos:

Variáveis de Decisão:

                Xj = quantidade de carros, onde j = 1, 2

                Xj ≥ 0, Xj ∈ R

Função Objetivo:

                max f(x) = 30 000*X1 + 40 000*X2

Sujeito a:

                6*X1 + 4*X2 ≤ 120

                3*X1 + X2 ≤ 180

 

Fontes do Conteúdo Resumido

Slide Unesp -https://www.ibilce.unesp.br/Home/Departamentos/MatematicaAplicada/docentes/socorro/aula2_mod_ferr_2015.pdf 

Resumo feito em 21 de novembro de 2024, para Fundamentos Matemáticos para Sistemas de Informação I (Matemática Discreta)